컴퓨터그래픽스: 기하학적 변환 1(geometric Transformations)

기하학적 변환(geometric Transformations)

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이번 내용은 그래픽스에 있어서 엄청나게 중요합니다.

이번 내용을 알게 된다면, 많은 것들을 할 수 있습니다.

 

여러분들에게 날개를 달아줄 것입니다.

 

자 그럼 시작해 봅시다.ㅎㅎ

 

 

변환에 대해서 이야기해봅시다.

변환이란 무엇일까요?

 

 

변환(Transformations)

:물체를 화면상에서 어디에 보여줄 건지에 대한 문제, 실제 화면상에 배치하는 문제

 

라고 할 수 있습니다.

 

즉, 다시 말해서

어떤 만들어진 물체의 위치를 바꾸거나, 방향을 바꾸거나, 종횡비를 바꾸는 문제입니다.

임의의 어떤 물체의 크기나, 위치를 바꿔야 할 때 어떻게 바꿀 수 있을지에 대해서 이야기해 볼 예정입니다.

 

 

아래는 변환의 예시 이미지입니다.

 

 

 

왼쪽의 이미지는, 사각형의 크기를 늘이고, 줄이고 있습니다.

어떤 형태를 늘이고, 줄이는 것은 기존의 만들어진 물체의 형태 변환하는 것입니다. 너무 당연한 말인가요? ㅎㅎ

 

 

 

 

 

 

 

 

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다음 이미지는 좌표평면에 있는 물체의 위치가 달라지고 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

위의 문제들을 어떻게 수학적으로 표현할 수 있을지 설명해보겠습니다.

 

이제부터 약간의 간단한 수학적인 지식이 필요합니다.

행렬을 도구로 활용할 예정입니다.

 

변환의 종류에 대해서 생각을 해보면,

1. 회전(Rotation)

2. 확대 및 축소(Scaling)

3. 평행이동(Translation)

으로 나눌 수 있습니다.

 

여기 있는 3가지만으로도 엄청나게 많은 것들을 할 수 있습니다.

 

간단한 것부터 시작해봅시다.

변환 예시 이미지

 

위의 그림을 보면 정사각형을 축소시켜서 사각형을 이루는 점들의 좌표가 달라졌습니다.

오른쪽 상단의 꼭짓점의 좌표를 기준으로 한번 생각해봅시다.

(x , y)의 좌표가 새로운 (x’, y’) 좌표로 달라졌습니다.

상단의 꼭짓점을 기준으로 말하자면, (5,5)에서 (2,2)로 좌표가 달라졌습니다.

X와 y의 좌표의 변환을 수식으로 나타내면, 다음과 같습니다.

 

위의 수식에 (5,5)를 대입하면, x’=2, y’=2 가 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

 

그런데 위와 같이 계속 표기를 하려니 좀 번거롭습니다.

따라서 행렬로 한번 표현해 보려고 합니다.

 

따라서 위의 두 개를 합쳐서 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

위의 두 줄의 식이 하나의 식으로 간단하게 표현됩니다.

지금까지 설명한 예제가 Scaling의 예시입니다.

 

행렬로 표현했을 때의 장점은 하나의 형식으로 여러 가지를 표현할 수 있습니다.

Y=Mx라는 식이 있다고 생각해봅시다. 여기서 M은 행렬입니다.

X에 어떤 좌표를 대입하니, 행렬 계산(M과의 연산)을 거쳐서 새로운 좌표 Y를 얻을 수 있습니다.

 

기본적인 개념은 어떤 좌표 a가 어떤 행렬과의 연산을 통해서 새로운 좌표 b를 얻는다는 것입니다.

 

다음 내용부터는 본격적인 translation, rotation, scaling에 대해서 알아보겠습니다.